Agora que a APMO já saiu no site, deixa eu apontar um erro comum dos alunos no problema 3. Uma ideia importante no problema é provar que, para todo primo $p$ diferente de 3, existem $a$ e $b$ distintos ${}\bmod p$ tais que $a^2+ab+b^2+1$ é múltiplo de p.
Pois é, muita gente está esquecendo do "distintos", e prova que $a^2+ab+b^2+1 \equiv 0 \pmod p$ tem solução, sem ver se de repente não houve o azar de ter uma só solução com $a \equiv b\pmod p$. Aí é necessário tirar pontos (não muitos, porque é fácil de ajeitar, mas é preciso tirar porque não é trivial, e se fosse na IMO com certeza esses pontos seriam perdidos).
Mais cuidado na hora de escrever, gente!
E só mais uma observação: sabe como sai o problema 5? COM UM BOM DESENHO. Dá para achar qual era para ser o ponto de tangência no desenho, e depois é razoavelmente fácil terminar (uma inversão, e arrastão).
Pois é, muita gente está esquecendo do "distintos", e prova que $a^2+ab+b^2+1 \equiv 0 \pmod p$ tem solução, sem ver se de repente não houve o azar de ter uma só solução com $a \equiv b\pmod p$. Aí é necessário tirar pontos (não muitos, porque é fácil de ajeitar, mas é preciso tirar porque não é trivial, e se fosse na IMO com certeza esses pontos seriam perdidos).
Mais cuidado na hora de escrever, gente!
E só mais uma observação: sabe como sai o problema 5? COM UM BOM DESENHO. Dá para achar qual era para ser o ponto de tangência no desenho, e depois é razoavelmente fácil terminar (uma inversão, e arrastão).